Question

某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)地規(guī)劃建成一個矩形高科技工業(yè)園，已知AB⊥BC，OA∥BC，且|AB|=|BC|=4km．|AO|=2km，曲線段OC 是以點O為頂點且開口向上的一段拋物線，如果要使矩形的兩邊分別落在AB，BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，問應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到0.1 km²）。

Answer 1

解：以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系，如圖所示， 依題意可設(shè)拋物線的方程為x2=2py（p ＞0），且過點C（2，4）， 所以22=2p× 故曲線段OC的方程為y =x2（0≤x≤2）， 設(shè)P（x，x2）（0≤x≤2）是曲線段OC上的任意一點， 則|PM|=2+x，|PN|=4-x2， 所以， 工業(yè)園的用地面積S=|PM|·|PN|=（2+x）（4- x2）=-x3-2x2+4x+8， 所以， S′=-3x2-4x+4， 令S′=0，得，x2=-2， 又因為0≤x≤2， 所以， 當時，S′＞0，S是x的增函數(shù)； 當時，S′＜0，S是x的減函數(shù)， 所以，當時，S取得最大值， 此時·|PN|= 故把工業(yè)園規(guī)劃成長為，寬為時，工業(yè)園的用地面積最大，約為9.5km2。