Question

如圖,在直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,底面A₁B₁C₁D₁為梯形,且A₁B₁∥C₁D₁,A₁D₁=D₁D=D₁C₁=A₁B₁=1,AD₁⊥A₁C,E是棱A₁B₁的中點.

（1）求證：CD⊥AD；

（2）求點C₁到平面CD₁B₁的距離；

（3）求二面角D₁-CE-B₁的余弦值.

Answer 1

解：(1)證明：連結(jié)A₁D，∵四邊形A₁D₁DA是正方形,

∴AD₁⊥DA₁.又∵AD₁⊥A₁C，∴AD₁⊥平面A₁CD.

∴AD₁⊥CD.又∵DD₁⊥CD，∴CD⊥平面AD₁D.∴CD⊥AD.

（2）以D₁為原點，D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則D₁(0,0,0),C(0,1,1),E(1,1,0),B₁(1,2,0),

=(0,1,1),=(1,1,0),=(-1,0,1),=(0,1,0),=(1,2,0).

設(shè)平面CD₁B₁的一個法向量為n=(x,y,z),

∵n⊥,n⊥,

∴即.

令y=-1，則x=2,z=1,得n=(2,-1,1)

又∵=(0,1,0),∴點C₁到平面CD₁B₁的距離d=  =.

（3）設(shè)平面CD₁E的一個法向量為n₁=(x₁,y₁,z₁),

∵∴

令x₁=1，則y₁=-1,z₁=1,得n₁=(1,-1,1).

又設(shè)平面CB₁E的一個法向量n₂=(x₂,y₂,z₂),

∵n₂⊥,n₂⊥,

∴

則

令x₂=1,則y₂=0,z₂=1,得n₂=(1,0,1).

cosα=,

∴二面角D₁-CE-B₁的余弦值為.