Question

5．已知不等式a•4^x-1-2^x+a＞0對任意x∈R恒成立，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． a＜1
• B． a＞1
• C． 0＜a＜1
• D． a＞1或a＜0

Answer 1

分析 由題意可得a＞$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x-1}+1}$恒成立，設t=2^x（t＞0），則y=$\frac{4t}{4+{t}^{2}}$=$\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$，運用基本不等式即可得到所求最大值，進而得到a的范圍．

解答 解：不等式a•4^x-1-2^x+a＞0對任意x∈R恒成立，即為a＞$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x-1}+1}$恒成立，
設t=2^x（t＞0），
則y=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x-1}+1}$=$\frac{4t}{4+{t}^{2}}$=$\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$，
由t+$\frac{4}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$=4，
當且僅當t=2，即x=1時，取得等號．
即有函數y取得最大值1．
可得a＞1．
故選：B．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離和換元法，運用指數函數的值域和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．