Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}，a₁=1，a₂=1，a_n+2=（1+sin²$\frac{nπ}{2}$）a_n+4cos²$\frac{nπ}{2}$，則a₉的值為16．

Answer 1

分析 a₁=1，a₂=1，a_n+2=（1+sin²$\frac{nπ}{2}$）a_n+4cos²$\frac{nπ}{2}$，計(jì)算a₃=2，a₄=5，a₅=2²，…，可得數(shù)列{a_2n-1}等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2．即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a₂=1，a_n+2=（1+sin²$\frac{nπ}{2}$）a_n+4cos²$\frac{nπ}{2}$，
∴a₃=（1+1）a₁+0=2a₁=2，
a₄=（1+0）a₂+4=a₂+4=5，
a₅=（1+1）a₃=2a₃=2²，
…，
可得數(shù)列{a_2n-1}等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2．
則a₉=2⁴=16．
故答案為：16

點(diǎn)評(píng) 本題查克拉等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、三角函數(shù)的周期性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．