Question

19．已知點A（a，1）．B（2，-a），線段AB與直線x-y+2=0相交，則|AB|的取值范圍是[3，3$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 由線段AB與直線x-y+2=0相交，得（a-1+2）（2+a+2）≤0，由此求出a的范圍，再由兩點間距離公式能求出|AB|的取值范圍．

解答 解：∵點A（a，1）．B（2，-a），線段AB與直線x-y+2=0相交，
∴點A（a，1）．B（2，-a）分布在直線x-y+2=0兩側(cè)或一點在AB上，另一點不在AB上，
∴（a-1+2）（2+a+2）≤0，
解得-4≤a≤-1，
∴|AB|=$\sqrt{（a-2）^{2}+（1+a）^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-2a+5}$，
∴|AB|在[-4，-1]上是減函數(shù)，
∴x=-4時，|AB|_max=3$\sqrt{5}$；x=-1時，|AB|_min=3．
∴|AB|的取值范圍是[3，3$\sqrt{5}$]．
故答案為：[3，3$\sqrt{5}$]．

點評 本題線線段長的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．