Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（a＞1）
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性
（Ⅱ）判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)镽，可得f（-x）=-f（x），可得奇函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，可判定f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，由單調(diào)性的定義可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）可得函數(shù)的定義域?yàn)镽，
f（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$=$\frac{1-{a}^{x}}{1+{a}^{x}}$=-$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）為增函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{a}^{{x}_{1}}-1}{{a}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{a}^{{x}_{2}}-1}{{a}^{{x}_{2}}+1}$
=$\frac{（{a}^{{x}_{1}}-1）（{a}^{{x}_{2}}+1）-（{a}^{{x}_{2}}-1）（{a}^{{x}_{1}+1}）}{（{a}^{{x}_{1}}+1）（{a}^{{x}_{2}}+1）}$=$\frac{2（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）}{（{a}^{{x}_{1}}+1）（{a}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵a＞1且x₁＜x₂，∴${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＜0，∴$\frac{2（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）}{（{a}^{{x}_{1}}+1）（{a}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，涉及單調(diào)性的定義法證明，屬基礎(chǔ)題．