Question

1．已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且?x∈（0，+∞）都有f（f（x）-log₃x）=4，若y=f（ae^x-x+2a²-3）-2的值域是R，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，e]
• B． （-∞，1]
• C． [0，e]
• D． [0，1]

Answer 1

分析 設(shè)f（x）-log₃x=t，根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）的表達式，結(jié)合y=f（ae^x-x+2a²-3）-2的值域是R得到y(tǒng)=f（ae^x-x+2a²-3）-2的值域是R，設(shè)g（x）=ae^x-x+2a²-3，則要求g（x）_min≤0即可．利用導數(shù)研究g（x）的單調(diào)性，最值情況，進行作答．要注意對a進行分類討論．

解答 解：設(shè)f（x）-log₃x=t，
則f（x）=log₃x+t，且f（t）=4，
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
∴t是常數(shù)，
則f（t）=log₃t+t=4，
解得t=3，
即f（x）=log₃x+3，
則y=f（ae^x-x+2a²-3）-2=log₃（ae^x-x+2a²-3）+3-2=log₃（ae^x-x+2a²-3）+1，
∵y=f（ae^x-x+2a²-3）-2的值域是R，
∴ae^x-x+2a²-3能取變所有的正數(shù)，
設(shè)g（x）=ae^x-x+2a²-3，即（0，+∞）⊆{y|y=g（x）}
則g′（x）=ae^x-1．
①當a≤0時，g′（x）＜0在R上恒成立，g（x）在R上是減函數(shù)，
x→+∞時，g（x）→-∞，x→-∞時，g（x）→+∞，
此時g（x）值域為R．符合要求．
②當a＞0時，由g′（x）=0得x=-lna．
由g′（x）＜0得x＜-lna，g（x）在（-∞，-lna）上單調(diào)遞減．
由g′（x）＞0得x＞-lna，g（x）在（-lna，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）_min=g（-lna）=2a²+lna-2．
下面研究g（x）最小值：
令h（a）=2a²+lna-2，則h′（a）=4a+$\frac{1}{a}$＞0（a＞0），h（a）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
可知當a＞1時，g（x）_min＞0，當a=1時，g（x）_min=0，當a＜1時，g（x）_min＜0，
而x→+∞時，g（x）→+∞．所以0＜a≤1．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a≤0或0＜a≤1，即a∈（-∞，1]．
故選：B．

點評 本題考查與對數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)的性質(zhì)，值域求解．利用待定系數(shù)法先求出函數(shù)f（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵，考查分類討論，運算求解能力．題目難度大，邏輯思維性強．