Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且對任意正整數n，點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上．
（Ⅰ） 求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在實數λ，使得數列{S_n+λ•n+}為等差數列？若存在，求出λ的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上，∴2a_n+1 +S_n -2=0． ①
n≥2時，2a_n+s_n-1-2=0． ②
①─②得 2a_n+1 -2a_n+a_n=0，∴= （n≥2）．
再由a₁=1，可得 a₂=．
∴{a_n}是首項為1，公比為的等比數列，
∴a_n =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 s_n==2-．
若數列{S_n+λ•n+}為等差數列，
則 s₁+λ+，s₂+2λ+，s₃+3λ+ 成等差數列，
∴2（s₂+2λ+）=（s₁+λ+）+（s₃+3λ+），解得 λ=2．
又λ=2時，S_n+λ•n+=2n+2，顯然 {2n+2}成等差數列，
故存在實數λ=2，使得數列 {S_n+λ•n+}成等差數列．
分析：（Ⅰ）由已知條件可得 2a_n+1 +S_n -2=0，可得n≥2時，2a_n+s_n-1-2=0，相減可得= （n≥2）．由此可得{a_n}是首項為1，公比為的等比數列，由此求得數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）先求出s_n=2-，若數列{S_n+λ•n+}為等差數列，則由第二項的2倍等于第一項加上第三項，求出λ=2，經檢驗λ=2時，此數列的通項公式是關于n的一次函數，故滿足數列為等差數列，從而得出結論．
點評：本題主要考查等差關系的確定，根據數列的遞推關系求通項，屬于中檔題．