Question

已知函數(shù)f(x)=lg|x|，

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2)畫出函數(shù)f(x)的圖像草圖；

(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

Answer 1

思路分析：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì).(1)確定函數(shù)的定義域，判斷f(x)和f(-x)的關(guān)系；(2)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，利用變換作圖畫出草圖；(3)由圖像觀察出單調(diào)遞增區(qū)間，再用定義證明.

解：(1)要使函數(shù)有意義，x的取值需滿足|x|＞0，解得x≠0，即函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).

f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x)，

∴f(-x)=f(x).

∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù).

(2)由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則其圖像關(guān)于y軸對稱，將函數(shù)y=lgx的圖像對稱到y(tǒng)軸的左側(cè)與函數(shù)y=lgx的圖像合起來得函數(shù)f(x)的圖像，如下圖所示.

(3)方法一：由上圖得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0).

證明：設(shè)x₁、x₂∈(-∞,0)，且x₁＜x₂，

則f(x₁)-f(x₂)=lg|x₁|-lg|x₂|=lg=lg，

∵x₁、x₂∈(-∞,0)，且x₁＜x₂，

∴|x₁|＞|x₂|＞0.∴＞1.∴l(xiāng)g＞0.

∴f(x₁)＞f(x₂).

∴函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù)，

即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0).

方法二：函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).設(shè)y=lgu，u=|x|.

當(dāng)函數(shù)f(x)是減函數(shù)時，由于函數(shù)y=lgu是增函數(shù)，

則函數(shù)u=|x|是減函數(shù).

又函數(shù)u=|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0］，

∴函數(shù)f(x)=lg|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0).

綠色通道：作形如函數(shù)y=log_a|x+b|(a＞0,a≠1)的圖像，通常利用平移變換畫出圖像，當(dāng)a＞1時，函數(shù)y=log_a|x+b|的單調(diào)遞增區(qū)間是(-b,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-b);當(dāng)0＜a＜1時,函數(shù)y=log_a|x+b|的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-b).單調(diào)遞減區(qū)間是(-b,+∞).判斷有關(guān)對數(shù)函數(shù)的奇偶性.結(jié)合函數(shù)的定義域和對數(shù)的運算性質(zhì)，通常利用定義法判斷函數(shù)奇偶性.由對數(shù)函數(shù)和其他簡單初等函數(shù)復(fù)合而成的簡單復(fù)合函數(shù)，在討論其單調(diào)性時，先求定義域，利用圖像觀察出單調(diào)區(qū)間，再用定義法證明，或利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性口訣：“同增異減”直接得到.