Question

3．設拋物線y²=2px（p＞0）被直線y=x-1截得弦長為$2\sqrt{6}$．
（1）求拋物線方程．
（2）以此弦為底邊，以x軸上的點P為頂點作三角形，當此三角形的面積為$5\sqrt{3}$時，求點P點坐標．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系和弦長公式列方程求出p即可；
（2）設P（x₀，0），利用距離公式求出P到弦的距離，根據(jù)面積列方程計算x₀．

解答 解：（1）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，得x²-（2+2p）x+1=0，
設直線y=x-1與拋物線的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=2+2p，x₁x₂=1，
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（2+2p）^{2}-4}$=2$\sqrt{6}$，
解得P=-3（舍去）或P=1，
∴拋物線方程為y²=2x．
（2）設P點坐標為（x₀，0）則P到直線AB的距離為$\frac{{|{x_0}-1|}}{{\sqrt{2}}}$，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{6}$×$\frac{{|{x_0}-1|}}{{\sqrt{2}}}$=5$\sqrt{3}$，
解得x₀=-4，或x₀=6．
∴P坐標為（-4，0）或（6，0）．

點評 本題考查了拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．