Question

A是圓x²+y²=r²(r＞0)上任意一點(diǎn),AB⊥x軸于B,以A為圓心,|AB|為半徑的圓,交已知圓于C、D兩點(diǎn),連結(jié)CD交AB于M點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

思路解析：動(dòng)點(diǎn)A落在x軸上時(shí),|AB|=0,A、M重合于(±r,0);點(diǎn)A落在y軸上時(shí),|AB|=r,有A(0,±r).由此可知:點(diǎn)M的軌跡是以r為長半軸,為短半軸,且中心在原點(diǎn)的橢圓,求軌跡方程的方法,應(yīng)選擇轉(zhuǎn)移、交軌法.

解：設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)A(x₀,y₀),那么x₀²+y₀²=r²,以A為圓心,|AB|=|y₀|為半徑的圓的方程為(x-x₀)²+(y-y₀)²=y₀².

由2x₀x+2y₀y=r²+x₀²,

此即弦CD所在直線的方程.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)锳B⊥x軸,有x=x₀,代入CD的方程2x₀x+2y₀y=r²+x₀²,可得2y₀y=r²-x₀²=y₀²,得y₀=2y.

將代入x₀²+y₀²=r²,可得x²+4y²=r².

此即為所求軌跡方程,可化為=1,表示以2r為長軸,r為短軸的橢圓.