Question

7．在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的頂點B（-5，0）和C（5，0），頂點A在雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的右支上，則$\frac{sinC-sinB}{sinA}$=$\frac{3}{5}$?．

Answer 1

分析 首先由正弦定理，有$\frac{sinC-sinB}{sinA}$=$\frac{AB-AC}{BC}$，進而根據雙曲線的幾何性質，可得|CB|=2c=4，|AB|-|CA|=2a=6，代入$\frac{AB-AC}{BC}$，即可得到答案．

解答 解：根據正弦定理：在△ABC中，有$\frac{sinC-sinB}{sinA}$=$\frac{AB-AC}{BC}$，
又由題意C、B分別是雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的左、右焦點，
則|CB|=2c=10，
且△ABC的頂點A在雙曲線的右支上，
又可得|AB|-|AC|=2a=6，
則$\frac{sinC-sinB}{sinA}$=$\frac{AB-AC}{BC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，注意運用定義法，以及正弦定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題．