Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

x

①判斷函數(shù)f（x）的奇偶性（要求說明理由）；
②判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞]上的單調(diào)性并證明；
③x∈[3，5]求f（x）的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用函數(shù)的奇偶性的定義判斷；（2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可證明；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值．

解答： 解：（1）∵定義域?yàn)閧x|x≠0}，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
f（-x）=

-2x-1

-x

=

2x+1

x

≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
∴f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
（2）f（x）在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增．
證明如下：設(shè)0≤x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

x1

-

2xx-1

x2

=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

∵0≤x₁＜x₂
∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增；
（3）∵f（x）在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增，
∴x∈[3，5]，f（x）也是單調(diào)增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（3）=

5

3

，
f（x）_max=f（5）=

9

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及最值，注意運(yùn)用定義，是一道中檔題．