Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2ax+1（a∈R）．
（I）當時，求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ） 當a＞0時，設函數(shù)g（x）=f（x）+3-2ax，若x∈[1，2]時，g（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）當時，求出導函數(shù)f'（x），然后令f'（x）＜0，解得x的取值范圍即為該函數(shù)的單調減區(qū)間；
（Ⅱ） 先整理g（x），然后求出導函數(shù)g′（x），令g′（x）=0，解得x=0或x=2a，然后討論2a與區(qū)間[1，2]的位置關系，根據(jù)函數(shù)的單調性得到函數(shù)的最小值，使最小值大于0即可．
解答：解：（I）當時，函數(shù)為，
則，解得當時，
所以函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為．  （3分）
（Ⅱ） g（x）=x³-3ax²+4，則g′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
令g′（x）=0，解得x=0或x=2a
（1）若，在區(qū)間x∈[1，2]上時，g′（x）＞0，即g（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞增
所以有g（1）＞0，解得，故
（2）若，當x∈[1，2a]時，函數(shù)g（x）單調遞減，
當x∈[2a，2]時，函數(shù)g（x）單調遞增，所以有g（2a）＞0，解得a＜1，故（7分）
（3）若a≥1，當x∈[1，2]時，g′（x）＜0，即g（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞減，
所以有g（2）＞0，解得a＜1，舍去
綜上所述，當0＜a＜1時，x∈[1，2]，g（x）＞0恒成立．                （10分）
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和恒成立問題，同時考查了分類討論的 數(shù)學思想，屬于中檔題．