Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點為F₁，F₂，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，P是橢圓C上一點，PF₁與y軸的交點為M，O為坐標原點，若|PF₁|-|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，則|OM|：|PF₂|=1：2．

Answer 1

分析 運用橢圓的離心率公式和定義，可得|PF₁|=$\frac{4}{3}$a，|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，|F₁F₂|=2c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由勾股定理的逆定理和中位線定理，即可得到所求之比．

解答 解：由離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又|PF₁|-|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，
由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
解得|PF₁|=$\frac{4}{3}$a，|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，
由|F₁F₂|=2c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，|PF₁|²=|F₁F₂|²+|PF₂|²，
即有PF₂⊥x軸，則OM∥PF₂，
即有OM為三角形PF₁F₂的中位線，
即有|OM|=$\frac{1}{2}$|PF₂|，
故答案為：1：2．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質，考查三角形的勾股定理的逆定理和中位線定理，考查運算能力，屬于中檔題．