Question

10．設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足|x-3|＜1．
（1）若a=1，且p∧q為假，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若a＞0，且，￢q是￢p的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=1，對(duì)于命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-4x+3＜0，解得x范圍為集合A．命題q：實(shí)數(shù)x滿足|x-3|＜1，解得x范圍為集合B．若p∧q為真，求出A∩B，而p∧q為假，求出A∩B的補(bǔ)角即可得出．
（2）a＞0，對(duì)于命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，解得x范圍；由￢q是￢p的必要不充分條件，可得q是p的充分不必要條件，即可得出．

解答 解：（1）a=1，對(duì)于命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，即x²-4x+3＜0，解得（x-1）（x-3）＜0，解得1＜x＜3．
命題q：實(shí)數(shù)x滿足|x-3|＜1，解得2＜x＜4．
若p∧q為真，則$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x＜4}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，
而p∧q為假，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≤2或x≥3．
（2）a＞0，對(duì)于命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，解得a＜x＜3a；
∵￢q是￢p的必要不充分條件，∴q是p的充分不必要條件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{4≤3a}\end{array}\right.$，解得$\frac{4}{3}≤a≤2$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{4}{3}，2]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法、一元二次不等式的解法、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．