Question

3．已知a＞0，且a≠1，函數(shù)f（x）=a^x-1，g（x）=-x²+xlna．
（1）若a＞1，證明函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值；
（3）若函數(shù)F（x）的圖象過原點(diǎn)，且F′（x）=g（x），當(dāng)a＞e${\;}^{\frac{10}{3}}$時(shí)，函數(shù)F（x）過點(diǎn)A（1，m）的切線至少有2條，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明．
（2）求函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和最值如導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．
（3）求出函數(shù)F（x）的解析式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解．

解答 解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=a^x-1+x²-xlna，
則h′（x）=（a^x-1）lna+2x，
∵a＞1，∴當(dāng)x＞0時(shí)，a^x-1＞0，lna＞0，
∴h′（x）＞0，即此時(shí)函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）由（1）知，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
則在區(qū)間（-∞，0）上是單調(diào)減函數(shù)，
同理當(dāng)0＜a＜1時(shí)，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
則在區(qū)間（-∞，0）上是單調(diào)減函數(shù)，
即當(dāng)a＞0，且a≠1時(shí)，h（x）在區(qū)間[-1，0）上是減函數(shù)，在區(qū)間（[0，1）上是增函數(shù)，
當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，h（x）的最大值為h（-1）和h（1）中的最大值，
∵h(yuǎn)（1）-h（-1）=（a-lna）-（$\frac{1}{a}$+lna）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，
∴令G（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，a＞0，
則G′（a）=1+$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{a}$=（1-$\frac{1}{a}$）²≥0，
∴G（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，在a＞0上為增函數(shù)，
∵G（1）=1-1-2ln1=0，
∴a＞1時(shí)，G（a）＞0，即h（1）＞h（-1），最大值為h（1）=a-lna，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，G（a）＜0，即h（-1）＞h（1），最大值為h（-1）=$\frac{1}{a}$+lna．
（3）∵F（x）的圖象過原點(diǎn)，且F′（x）=g（x）=-x²+xlna，
∴設(shè)F（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²lna+c，
∵F（x）的圖象過原點(diǎn)，∴F（0）=0，
即c=0，則F（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²lna．
設(shè)切點(diǎn)為B（x₀，-$\frac{1}{3}$x₀³+$\frac{1}{2}$x₀²lna），則B處的切線方程為：
y-（-$\frac{1}{3}$x₀³+$\frac{1}{2}$x₀²lna）=-（-x₀²+x₀lna）（x-x₀），
將A的坐標(biāo)代入得m-（-$\frac{1}{3}$x₀³+$\frac{1}{2}$x₀²lna）=-（-x₀²+x₀lna）（1-x₀），
即m=$\frac{2}{3}$x₀³-（1+$\frac{1}{2}$lna）x₀²+x₀lna   （※），
則原命題等價(jià)為關(guān)于x₀的方程（※）至少有2個(gè)不同的解，
設(shè)φ（x）=$\frac{2}{3}$x³-（1+$\frac{1}{2}$lna）x²+xlna，
則φ′（x）=2x₀²-（2+lna）x+lna=（x-1）（2x-lna），
∵a＞e${\;}^{\frac{10}{3}}$，∴$\frac{lna}{2}$＞1，
當(dāng)x∈（-∞，1）和（$\frac{lna}{2}$，+∞）時(shí)，φ′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)φ（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，$\frac{lna}{2}$）時(shí)，φ′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)φ（x）為減函數(shù)，
∴φ（x）的極大值為φ（1）=$\frac{2}{3}$-1-$\frac{1}{2}$lna+lna=$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{3}$，
φ（x）的極大值為φ（$\frac{1}{2}$lna）=$\frac{1}{12}$ln³a-$\frac{1}{4}$ln²a（1+$\frac{1}{2}$lna）+$\frac{1}{2}$ln²a=-$\frac{1}{24}$ln³a+$\frac{1}{4}$ln²a，
設(shè)t=lna，則t＞$\frac{10}{3}$，
則原命題等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{2}lna-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}t-\frac{1}{3}}\\{m≥-\frac{1}{24}l{n}^{3}a+\frac{1}{4}l{n}^{2}a=-\frac{1}{24}{t}^{3}+\frac{1}{4}{t}^{2}}\end{array}\right.$對(duì)t＞$\frac{10}{3}$恒成立，
∴由m≤$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{3}$得m≤$\frac{4}{3}$，
∵s（t）=-$\frac{1}{24}$t³+$\frac{1}{4}$t²的最大值為s（4）=$\frac{4}{3}$，
∴由m≥-$\frac{1}{24}$t³+$\frac{1}{4}$t²，得m≥$\frac{4}{3}$，即m=$\frac{4}{3}$，
綜上所述當(dāng)a＞e${\;}^{\frac{10}{3}}$時(shí)，函數(shù)F（x）過點(diǎn)A（1，m）的切線至少有2條，此時(shí)實(shí)數(shù)m的值為$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，極值以及最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度較大．