Question

已知函數f（x）是（x∈R）的反函數，函數g（x）的圖象與函數的圖象關于直線x=-2成軸對稱圖形，設F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函數F（x）的解析式及定義域；
（2）試問在函數F（x）的圖象上是否存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A，B坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由y=-1（x∈R），得10^x=，x=lg．
∴f（x）=lg（-1＜x＜1）．
設P（x，y）是g（x）圖象上的任意一點，
則P關于直線x=-2的對稱點P′的坐標為（-4-x，y）．
由題設知點P′（-4-x，y）在函數的圖象上，
∴y=，即g（x）=（x≠-2）．
∴F（x）=f（x）+g（x）=lg+，其定義域為{x|-1＜x＜1}．
（2）設F（x）上不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂ y₂），-1＜x₁＜x₂＜1
則y₁-y₂=F（x₁）-F（x₂）=
=
=．
由-1＜x1＜x2＜1 得，
所以，y₁＞y₂，
即F（x）是（-1，1）上的單調減函數，故不存在A，B兩點，使AB與y軸垂直．
分析：（1）由題設條件知f（x）=lg（-1＜x＜1）．設P（x，y）是g（x）圖象上的任意一點，則P關于直線x=-2的對稱點P′的坐標為（-4-x，y）．由此可知g（x）=（x≠-2）．從而得到F（x）的解析式及定義域．
（2）由f（x）和g（x）都是減函數，知F（x）在（-1，1）上是減函數．由此可知不存在這樣兩個不同點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直．
點評：本題是一道綜合題，解決第（2）小題常用的方法是反證法，但本題巧用單調性法使問題變得簡單明了．