Question

16．微信是騰訊公司推出的一款手機通訊軟件，它支持發(fā)送語音、視頻、圖片和文字等，一推出便風靡全國，甚至涌現(xiàn)出一批在微信朋友圈銷售商品的人（被稱為微商）．經(jīng)調(diào)查，年齡在40歲以下（不包括40歲）的微信用戶每天使用微信的時間不低于8小時的概率為$\frac{3}{5}$，年齡在40歲以上（包括40歲）的微信用戶每天使用微信的時間不低于8小時的概率為p，將每天使用微信的時間不低于8小時的微信用戶稱為“微信狂”，若甲（21）歲、乙（36歲）、丙（48歲）三人中有且僅有一人是“微信狂”的概率為$\frac{28}{75}$
（1）求甲、乙、丙三人中至少有兩人是“微信狂”的概率；
（2）記甲、乙、丙三人中是“微信狂”的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}（1-p）+\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×（1-p）$+$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}p$=$\frac{28}{75}$，求出p=$\frac{1}{3}$．由此能求出甲、乙、丙三人中至少有兩人是“微信狂”的概率．
（2）記甲、乙、丙三人中是“微信狂”的人數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學期望EX．

解答 解：（1）∵年齡在40歲以下（不包括40歲）的微信用戶每天使用微信的時間不低于8小時的概率為$\frac{3}{5}$，
年齡在40歲以上（包括40歲）的微信用戶每天使用微信的時間不低于8小時的概率為p，
將每天使用微信的時間不低于8小時的微信用戶稱為“微信狂”，
甲（21）歲、乙（36歲）、丙（48歲）三人中有且僅有一人是“微信狂”的概率為$\frac{28}{75}$，
∴$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}（1-p）+\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×（1-p）$+$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}p$=$\frac{28}{75}$，
解得p=$\frac{1}{3}$．
∴甲、乙、丙三人中至少有兩人是“微信狂”的概率：
p₁=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}$+$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}×\frac{1}{3}$+$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}$=$\frac{13}{25}$．
（2）記甲、乙、丙三人中是“微信狂”的人數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{75}$，
P（X=1）=$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}×\frac{1}{3}$=$\frac{28}{75}$，
P（X=2）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}$+$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}×\frac{1}{3}$=$\frac{30}{75}$，
P（X=3）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}$=$\frac{9}{75}$，
∴隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{75}$	$\frac{28}{75}$	$\frac{30}{75}$	$\frac{9}{75}$

數(shù)學期望EX=$0×\frac{8}{75}+1×\frac{28}{75}+2×\frac{30}{75}$+3×$\frac{9}{75}$=$\frac{23}{15}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件乘法公式的合理運用．