Question

15．已知數(shù)列{a_n}的第一項a₁=5且S_n-1=a_n（n≥2，n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想a_n的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）利用S_n-1=a_n，代入計算，可得結(jié)論，猜想a_n=5×2^n-2（n≥2，n∈N^*）．
（2）用歸納法進(jìn)行證明，檢驗n=1時等式成立，假設(shè)n=k時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立．

解答 解：（1）a₂=S₁=a₁=5，
a₃=S₂=a₁+a₂=10，
a₄=S₃=a₁+a₂+a₃=20．
猜想：a_n=5•2^n-2（n≥2，n∈N^*）．
（2）當(dāng)n=2時，a₂=5×2⁰=5，結(jié)論成立．
假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即a_k=5•2^k-2．
則a_k+1=S_k=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_k=5+5+10+…+5×2^k-2=5+$\frac{5（1-{2}^{k-1}）}{1-2}$=5×2^k-1，
故n=k+1時猜想成立，
由①②可知對n≥2，n∈N^*，a_n=5×2^n-2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{5，n=1}\\{5•{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而得證，這是數(shù)列的通項一種常用求解的方法．