Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21）其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)．
（1）對于任意實數(shù)λ，證明數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
（2）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）若存在實數(shù)λ，使得數(shù)列數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則必有

a

2 2

=a1a3，否則不為等比數(shù)列；
（2）若存在實數(shù)λ使得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，證明

bn+1

bn

=常數(shù)即可．

解答：解：（1）若存在實數(shù)λ，使得數(shù)列數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則必有

a

2 2

=a1a3，∵a₁=λ，∴a2=

2

3

λ-3，a3=

2

3

(

2

3

λ-3)-2=

4

9

λ-4．
由(

2

3

λ-3)2=λ(

4

9

λ-4)，化為9=0，矛盾．故假設錯誤，因此對于任意實數(shù)λ，數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
（2）若存在實數(shù)λ使得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，則

bn+1

bn

=常數(shù)．
∵bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1(

2

3

an+n-4-3n+18)=

2

3

(-1)n+1(an-3n+21)=-

2

3

bn，
當且僅當a_n≠3n-21，即λ≠-18時上式成立．
因此當λ≠-18時，

bn+1

bn

=-

2

3

為常數(shù)，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．

點評：熟練掌握證明或否定一個數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法是解題的關鍵．