Question

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，ED⊥ABCD，ED=1，EF∥BD，且EF=

1

2

BD．
（1）求證：BF∥平面ACE；
（2）求證：平面EAC⊥平面BDEF；
（3）求二面角B-AF-C的大小．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）記AC與BD的交點為O，則DO=BO=

1

2

BD，連接EO，則可證出四邊形EFBO是平行四邊形，從而BF∥EO，最后結(jié)合線面平行的判定定理，可得BF∥平面ACE；
（2）由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，由線面垂直得AC⊥ED，從而得以AC⊥平面BDEF，由此能證明面EAC⊥面BDEF．
（3）證明BO⊥面ACF，過點O作OG⊥AF于點G，連接GB，則∠OGB為二面角B-AF-C的平面角，則可求；

解答： （1）證明：記AC與BD的交點為O，則DO=BO=

1

2

BD，連接EO，
∵EF∥BD且EF=

1

2

BD，
∴EF∥BO且EF=BO，則四邊形EFBO是平行四邊形，
∴BF∥EO，
又∵EO?面ACE，BF?面ACE，
∴BF∥平面ACE． 
（2）證明：∵ABCD是邊長為2的正方形，
∴AC⊥BD，
∵ED⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴AC⊥ED，
∵BD∩ED=D，∴AC⊥平面BDEF，
又AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF．
（3）解：：∵ABCD為正方形，∴BO⊥AC，
∵EF∥BD且EF=

1

2

BD，
∴EFOD為平行四邊形，
∴ED∥OF，OF⊥面ABCD，
∴OF⊥BO，
∵AC∩OF=O，
∴BO⊥面ACF，
過點O作OG⊥AF于點G，連接GB，則∠OGB為二面角B-AF-C的平面角．
在Rt△FOA中，可求得OG=

FO•AO

AF

=

6

3

，
∵OB=

2

，
∴tan∠OGB=

3

，
∴∠OGB=

π

3

，
∴二面角B-AF-C的大小為

π

3

．

點評：本題以一個特殊多面體為例，要我們證明線面平行和面面垂直，著重考查了線面平行的判定定理和面面垂直的判定理等知識，屬于中檔題．