Question

（2013•普陀區(qū)一模）若C(-

3

，0)、D(

3

，0)，M是橢圓

x2

4

+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則

1

|MC|

+

1

|MD|

的最小值為

1

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知橢圓

x2

4

+y2=1的焦點(diǎn)即為C，D兩點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義得出|MC|+|MD|為定值，從而利用基本不等式得到

1

|MC|

+

1

|MD|

的最小值．

解答：解：由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在x軸上，
故橢圓方程橢圓

x2

4

+y2=1
由c=

a2-b2

=

4-1

=

3

，
易知C，D兩點(diǎn)是橢圓

x2

4

+y2=1的焦點(diǎn)，
所以，|MC|+|MD|=2a=4，
從而|MC|•|MD|≤（

|MC|+|MD|

2

）²=2²=4，
當(dāng)且僅當(dāng)|MC|=|MD|取等號(hào)，
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，±1）時(shí)上式取等號(hào)，
∴

1

|MC|

+

1

|MD|

=

4

|MC||MD|

≥

4

4

=1，
則

1

|MC|

+

1

|MD|

的最小值為 1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用，基本不等式及兩點(diǎn)間的距離公式．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．