Question

20．設(shè)a、b、c分別表示△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若ac=b²-a²，$∠A=\frac{π}{6}$，則∠B=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由余弦定理得a²-b²=c²-2bccosA，將已知條件代入，化簡(jiǎn)可得$\sqrt{3}$b-c=a．再由正弦定理，可得$\sqrt{3}$sinB-sinC=sin$\frac{π}{6}$．再結(jié)合sinC=sin（$\frac{5π}{6}$-B）=$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB，求得sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合B的范圍求得B的值．

解答 解：由余弦定理得，a²-b²=c²-2bccosA，
將已知條件ac=b²-a² 代入上式，化簡(jiǎn)可得ac=$\sqrt{3}$bc-c²，則$\sqrt{3}$b-c=a．
再由正弦定理，可得$\sqrt{3}$sinB-sinC=sin$\frac{π}{6}$．…（4分）
又sinC=sin（$\frac{5π}{6}$-B）=$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB，
所以$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB-$\frac{1}{2}$cosB=$\frac{1}{2}$，即sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．…（10分）
因?yàn)?$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，所以B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即B=$\frac{π}{3}$．…（12分）
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．