Question

已知橢圓

x2

m2

+

y2

16

=1（m＞0）和雙曲線

x2

n2

-

y2

9

=1（n＞0）有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P為橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF₁||PF₂|的值為（　　）

• A、16
• B、25
• C、9
• D、不為定值

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)F₁、F₂，得到m²-n²=25；再根據(jù)點(diǎn)P為橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合定義求出|PF₁|與|PF₂|的表達(dá)式，代入即可求出|PF₁|•|PF₂|的值．

解答： 解：因?yàn)闄E圓

x2

m2

+

y2

16

=1（m＞0）和雙曲線

x2

n2

-

y2

9

=1（n＞0）有相同的焦點(diǎn)F₁、F₂，
所以有：m²-16=n²+9⇒m²-n²=25
設(shè)P在雙曲線的右支上，左右焦點(diǎn)F₁、F₂：
利用橢圓以及雙曲線的定義可得：|PF₁|+|PF₂|=2m   ①
|PF₁|-|PF₂|=2n    ②
由①②得：|PF₁|=m+n，|PF₂|=m-n．
所以|PF₁|•|PF₂|=m²-n²=25．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓錐曲線的綜合問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)F₁、F₂，利用定義化簡(jiǎn)．