Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a為常數(shù)，a≠0，a≠1）
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

a

2 n

+Sn•an，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數(shù)列{a_n}的通項a_n與前n項和S_n之間的關系：n=1時，a₁=s₁；n≥2時，a_n=s_n-s_n-1，即可求出數(shù)列{a_n}的通項a_n．
（Ⅱ）將通項a_n代入已知條件S_n=a（S_n-a_n+1）即可求出S_n的表達式，將a_n與S_n代入b_n的表達式，據(jù)已知條件數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，利用

b

2 2

=b₁b₃即可求出a的值．

解答：（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）當n=1時，S₁=a（S₁-a₁+1），∴a₁=a，…（2分）
當n≥2時，S_n=a（S_n-a_n+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1）
兩式相減得：a_n=a•a_n-1，

an

an-1

=a（a≠0，n≥2），即{a_n}是等比數(shù)列  …（5分）
∴an=a•an-1=an…（7分）
（Ⅱ）由a≠1得bn=(an)2+

a(an-1)

a-1

an=

(2a-1)a2n-aan

a-1

，…（10分）
若{b_n}為等比數(shù)列，則有b22=b1b3，而b1=2a2，b2=a3(2a+1)，b3=a4(2a2+a+1)
故[a³（2a+1）]²=2a²•a⁴（2a²+a+1），
解得a=

1

2

，…（12分）
再將a=

1

2

代入b_n得bn=(

1

2

)n即數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
所以a=

1

2

．                                                   …（14分）

點評：此題考查了數(shù)列{a_n}的通項公式a_n與前n項和S_n之間的關系，及等比數(shù)列的通項公式．較好地檢驗了學生應用基礎知識解決問題的能力．