Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax（x≤1）}\\{{a}^{2}x-7a+14（x＞1）}\end{array}\right.$，若?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [2，3]∪（-∞，-5]
• B． （-∞，2）∪（3，5）
• C． [2，3]
• D． [5，+∞）

Answer 1

分析 分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂），即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=-x²，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=14，此時(shí)存在當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，滿足條件．
若a＞0，則當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）為增函數(shù)，且f（x）＞a²-7a+14，
當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=-x²+ax=-（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$，對(duì)稱軸為x=$\frac{a}{2}$，
若$\frac{a}{2}$＜1即a＜2時(shí)，則滿足條件，
若$\frac{a}{2}$≥1，即a≥2時(shí)，函數(shù)在（-∞，1]上單調(diào)遞增，
要使條件成立則f（x）在（-∞，1]上的最大值f（1）=-1+a＞a²-7a+14，
即a²-8a+15＜0，
即3＜a＜5，
∵a≥2，
∴3＜a＜5，
綜上3＜a＜5或a＜2，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵．，注意分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，