Question

18．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個頂點是拋物線y=$\frac{1}{4\sqrt{3}}$x²的焦點，該橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，過橢圓右焦點的直線與該橢圓交于A、B兩點，P（-5，0）為橢圓外的一點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過拋物線y=$\frac{1}{4\sqrt{3}}$x²的焦點可知b=$\sqrt{3}$，再利用$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$計算可知a=2，進而可得結(jié)論；
（2）通過化簡可知S_△PAB=${S}_{△P{F}_{2}A}$+${S}_{△P{F}_{2}B}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，利用韋達定理代入計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）拋物線y=$\frac{1}{4\sqrt{3}}$x²的焦點為F（0，$\sqrt{3}$），
依題意，有$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{^{2}={a}^{2}-{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）知橢圓右焦點F₂（1，0），
設(shè)直線AB的方程為：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x、整理得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，
S_△PAB=${S}_{△P{F}_{2}A}$+${S}_{△P{F}_{2}B}$
=$\frac{1}{2}$|PF₂|•|y₁|+$\frac{1}{2}$|PF₂|•|y₂|
=$\frac{1}{2}$|PF₂|•|y₁-y₂|
=$\frac{1}{2}$|PF₂|•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$•6•$\sqrt{（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}-4•（-\frac{9}{3{m}^{2}+4}）}$
=36•$\frac{\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$
=$\frac{36}{3\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$（t≥1），記h（t）=3t+$\frac{1}{t}$（t≥1），
則h（t）在[1，+∞）上遞增，
∴當(dāng)t=1時，h（t）_min=h（1）=4，此時m=0，
故△PAB面積的最大值為9．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．