Question

已知函數(shù)f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

，其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在原點處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）在（0，1）內(nèi)有最大值，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的概念及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)在原點處的切線的斜率，進一步求出切線方程．
（Ⅱ）利用分類討論思想進行具體的操作f′(x)=

-2ax2+(2-2a2)x+2a

(x2+1)2

，分別令①a=0②a≠0，進行討論，求的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結(jié)論直接求出函數(shù)在（0，1）內(nèi)有最大值只需滿足：0＜

1

a

＜1即可
解得結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

，當a=1時，f（x）=

2x

x2+1

則：f′(x)=

2(x2+1)-4x2

(x2+1)2

則：f′（0）=2
曲線y=f（x）在原點處的切線方程為：y=2x
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

則：f′(x)=

-2ax2+(2-2a2)x+2a

(x2+1)2

=-

2(x+a)(ax-1)

(x2+1)2

（1）當a=0時，f，(x)=

2x

(x2+1)2

，
解得：x＞0
（2）當a≠0時
令f′（x）=0，解得：x1=-a，x2=

1

a

①當a＜0時，函數(shù)的增區(qū)間為：（-∞，

1

a

）和（-a，+∞）
②當a＞0時，函數(shù)的增區(qū)間為：（-a，

1

a

）
（Ⅲ）根據(jù)（2）的結(jié)論函數(shù)在（0，1）內(nèi)有最大值只需滿足：0＜

1

a

＜1即可
解得：a＞1
故a的范圍是：a＞1

點評：本題考查的知識要點：利用導數(shù)求函數(shù)的切線方程，及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對參數(shù)進行討論是本題的重點．屬于中等題型．