Question

在公差不為零的等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}中,已知a₁=b₁=1,a₂=b₂,a₈=b₃.

(1)求數(shù)列{a_n}的公差和數(shù)列{b_n}的公比;

(2)是否存在常數(shù)a、b,使得對(duì)于一切正整數(shù)n,都有a_n=log_ab_n+b成立?若存在,求出a和b;若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,則或(舍去).

(2)假設(shè)存在a、b,使得a_n=log_ab_n+b成立(n∈N^*),即1+(n-1)×5=log_a6^n-1+b,

∴5n-4=(n-1)log_a6+b,

    即(5-log_a6)n-(4+b-log_a6)=0.

    上式對(duì)一切正整數(shù)n都成立,所以

    即存在常數(shù)a=,b=1.

    使得對(duì)于一切正整數(shù)n,都有a_n=log_ab_n+b成立.