Question

已知O是三角形ABC的外心，AB=2，AC=5，若

AO

=x

AB

+y

AC

，且x+4y=2，則三角形ABC的面積為（　　）

• A、

  5 39

  4

• B、

  5 39

  8

• C、

  5 39

  16

• D、

  5 39

  2

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：過外心O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．利用垂經定理可得：AD=

1

2

AB，AE=

1

2

AC．由投影的定義可得：

AO

•

AB

=

1

2

AB

2=2，

AO

•

AC

=

1

2

AC

2=

25

2

．對

AO

=x

AB

+y

AC

分別與

AB

，

AC

作數(shù)量積．可得2=4x+10ycosA，

25

2

=10xcosA+25y．又x+4y=2，聯(lián)立解得cosA．即可得出sinA，利用三角形的面積計算公式即可得出．

解答： 解：如圖所示，
過外心O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．
則AD=

1

2

AB，AE=

1

2

AC．
∴

AO

•

AB

=

1

2

AB

2=2，

AO

•

AC

=

1

2

AC

2=

25

2

．
對

AO

=x

AB

+y

AC

分別與

AB

，

AC

作數(shù)量積．
可得：

AO

•

AB

=x

AB

2+y

AB

•

AC

，化為2=4x+10ycosA．

AO

•

AC

=x

AB

•

AC

+y

AC

2，化為

25

2

=10xcosA+25y．
又x+4y=2，
聯(lián)立解得cosA=

2

5

或

5

8

．
當cosA=

2

5

時，x=0，舍去．
∴cosA=

5

8

．
∴sinA=

1-cos2A

=

39

8

．
∴三角形ABC的面積S=

1

2

AB×ACsinA=

1

2

×2×5×

39

8

=

5 39

8

．
故選：B．

點評：本題綜合考查了垂經定理、投影的定義、數(shù)量積運算性質、同角三角函數(shù)基本關系式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．