Question

4．如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE且CE=CA=2BD，M是EA的中點．
（Ⅰ）證明：DM∥平面ABC；
（Ⅱ）若正三角形ABC的邊長是a，求三棱錐D-ECA的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC的中點N，連接MN，BN，利用三角形中位線定理與平行四邊形的判定與性質定理可得DM∥BN，再利用線面平行的判定定理可得：DM∥平面ABC．
（Ⅱ）證明DM⊥平面AEC，利用體積公式求三棱錐D-ECA的體積．

解答 （Ⅰ）證明：取AC的中點N，連接MN，BN
∵M是AE的中點，∴MN∥CE，CE=2MN，
∵CE∥BD，CE=2BD，
∴MN∥BD，MN=BD
∴四邊形BDMN為平行四邊形，
∴DM∥BN，DM?平面ABC，BN?平面ABC，
∴DM∥平面ABC．
（Ⅱ）解：∵△ABC是正三角形，
∴BN⊥AC，
∵EC⊥平面ABC，
∴BN⊥CE，
∴BN⊥平面ACE，
∵BN∥DM，
∴DM⊥平面AEC，
∴V_D-ECA=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定定理、三角形的中位線定理、棱錐的體積計算公式、平行四邊形的判定與性質定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．