Question

【題目】設(shè)函數(shù), .

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）兩函數(shù)圖象總有一個(gè)交點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）在定義域的前提下對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)分類: , .可函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè),本題可轉(zhuǎn)化為求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,對(duì)分類討論即可.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>， ，

當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是.

（2）解：令， ，問題等價(jià)于求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

當(dāng)時(shí)， ， ，有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)為減函數(shù)，注意到， ，所以有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 或時(shí)， ， 時(shí)，所以函數(shù)在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意到， ，所以有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 或時(shí)， 時(shí)，所以函數(shù)在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意到，所以，而，所以有唯一零點(diǎn).

綜上，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即兩函數(shù)圖象總有一個(gè)交點(diǎn).