Question

10．如圖，在平面內將四塊直角三角板接在一起，已知∠ABC=45°，∠BCD=60°，記$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$．
（Ⅰ）試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示向量$\overrightarrow{AD}$$、\overrightarrow{CD}$；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow$|=1，求$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CD}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的三角形法則、共線定理即可得出；
（Ⅱ）利用數(shù)量積的定義及其運算性質即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，
由題意可知，AC∥BD，BD=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}AC$．
∴$\overrightarrow{BD}=\sqrt{3}\overrightarrow$，則 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{a}+\sqrt{3}\overrightarrow$，
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}+（\sqrt{3}-1）\overrightarrow$；
（Ⅱ）∵|$\overrightarrow$|=1，∴$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\sqrt{2}cos45°=1$，
則$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}•[\overrightarrow{a}+（\sqrt{3}-1）\overrightarrow]$=${\overrightarrow{a}}^{2}+（\sqrt{3}-1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2+\sqrt{3}-1=\sqrt{3}+1$．

點評 本題考查了向量共線定理、數(shù)量積運算及其性質，屬于中檔題．