Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2．

(Ⅰ)求證：AE∥平面DCF；

(Ⅱ)當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角A－EF－C的大小為60°？

Answer 1

答案：
解析：

本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力． 　　方法一： 　　(Ⅰ)證明：過(guò)點(diǎn)作交于，連結(jié)， 　　可得四邊形為矩形，又為矩形， 　　所以，從而四邊形為平行四邊形， 　　故． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1522/0018/d878f7880799ece6b32bb4a709a42abc/C/Image117.gif" width=41 height=18>平面，平面， 　　所以平面． 　　(Ⅱ)解：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)． 　　由平面平面，，得平面， 　　從而． 　　所以為二面角的平面角． 　　在中，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1522/0018/d878f7880799ece6b32bb4a709a42abc/C/Image137.gif" width=101 height=24>，，所以，． 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1522/0018/d878f7880799ece6b32bb4a709a42abc/C/Image141.gif" width=65 height=18>，所以， 　　從而． 　　于是． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1522/0018/d878f7880799ece6b32bb4a709a42abc/C/Image145.gif" width=137 height=18>， 　　所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為． 　　方法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以和分別作為軸，軸和軸， 　　建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)， 　　則，，，，． 　　(