Question

9．已知函數f（x）=x-$\frac{2}{x}$+1-alnx，a＞0，討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析 求出函數的導數，對參數的取值范圍進行討論，即可確定函數的單調性．

解答 解：∵函數f（x）=x-$\frac{2}{x}$+1-alnx，a＞0，
∴f′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$，x＞0，
令t=$\frac{1}{x}$＞0
y=2t²-at+1（t≠0）
①△=a²-8≤0，即：0＜a≤2$\sqrt{2}$，y≥0恒成立，此時函數f（x）在（0，+∞）上是增函數
②△=a²-8＞0，即：a＞2$\sqrt{2}$，y=0有兩個不等根
由2t²-at+1＞0，得t＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$或t＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$，又x＞0
∴0＜x＜或x＜0或x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$由2t²-at+1＜0，得 $\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$＜t＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$，
∴$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$綜上：①0＜a≤2$\sqrt{2}$，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數
②a＞2$\sqrt{2}$函數f（x）（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$），（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$，+∞）上是增函數，在（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$）上是減函數．

點評 本題主要考查函數的單調性，比較復雜的函數的單調性，一般用導數來研究，將其轉化為函數方程不等式綜合問題解決．