Question

設(shè)f（x）=

ex

1+ax2

，其中a為正實數(shù)．
（Ⅰ）當a=

4

3

時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導數(shù)，解不等式求出單調(diào)區(qū)間即可，（Ⅱ）引進新函數(shù)g（x），結(jié)合二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)從而求出a的范圍．

解答： 解：f′（x）=

ex(ax2-2ax+1)

(1+ax2)2

，
（Ⅰ）a=

4

3

時，f′（x）=

( 4 3 x2- 8 3 x+1)•ex

(1+ 4 3 x2)2

，
令f′（x）＞0，解得：x＞

3

2

，x＜

1

2

，
令f′（x）＜0，解得：

1

2

＜x＜

3

2

，
∴f（x）在（-∞，

1

2

），（

3

2

，+∞）遞增，在（

1

2

，

3

2

）遞減，
（Ⅱ）∵f′（x）=

ex(ax2-2ax+1)

(1+ax2)2

，
令g（x）=ax²-2ax+1，
若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，
需g（x）＞0，或g（x）＜0，
①a＞0時，
需△=4a（a-1）＜0，
解得：0＜a＜1，
②a＜0時，
需△=4a（a-1）＜0，無解，
∴a的范圍是（0，1）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，是一道綜合題．