Question

19．如圖，AP為圓O的切線，切點為A，過P作過圓心O的割線交圓于B，C兩點，AH⊥BC于H．求證：PA•AH=PC•HB．

Answer 1

分析 連AC，AB，利用射影定理可得AH²=CH•HB，即$\frac{AH}{CH}=\frac{HB}{AH}$，再證明$\frac{PC}{CH}=\frac{PA}{AH}$，即$\frac{AH}{CH}=\frac{PA}{PC}$，即可得出結論．

解答 證明：連AC，AB．因BC為圓O的直徑，故AC⊥AB．
又AH⊥PB，故AH²=CH•HB，即$\frac{AH}{CH}=\frac{HB}{AH}$．…5
因PA為圓O的切線，故∠PAC=∠B．
在Rt△ABC中，∠B+∠ACB=90°．
在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB=90°．
所以，∠HAC=∠B．
所以，∠PAC=∠CAH，
所以，$\frac{PC}{CH}=\frac{PA}{AH}$，即$\frac{AH}{CH}=\frac{PA}{PC}$．
所以，$\frac{PA}{PC}=\frac{HB}{AH}$，即PA•AH=PC•HB．…10分．

點評 本題考查與圓有關的比例線段，考查射影定理，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．