Question

4．已知f（x）=（x-a）（x-3a）（其中a＞0），g（x）=x²+1；條件p：實數x滿足f（x）＜0；條件q：實數x滿足4＜g′（x）≤6．
（1）若a=1，且“p∧q”為真，求實數x的取值范圍；
（2）若q是p的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=1，求出命題p，q的等價條件，利用p∧q為真，則p，q為真，即可求實數x的取值范圍；
（2）求出命題p，q的等價條件，利用q是p的充分不必要條件，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（1）若a=1，不等式為（x-a）（x-3a）＜0為（x-1）（x-3）＜0，
即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，
由4＜g′（x）≤6．
得4＜2x≤6．
則2＜x≤3，即q：2＜x≤3，
若p∧q為真，則p，q同時為真，
即$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x≤3}\end{array}\right.$得1＜x＜3，
即實數x的取值范圍是1＜x＜3．
（2）由f（x）=（x-a）（x-3a）＜0得a＜x＜3a，即p：a＜x＜3a
若q是p的充分不必要條件，則q⇒p且p⇒q不成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a＞3}\end{array}\right.$，即1＜a≤2，
所以實數a的取值范圍是1＜a≤2．

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的應用，以及不等式的求解，利用不等式的解法時解決本題的關鍵．