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【題目】如圖1，在等腰梯形中，兩腰，底邊，，，是的三等分點，是的中點.分別沿，將四邊形和折起，使，重合于點，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，，分別為，的中點.

（1）證明：平面.

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

(1)先證，再證，由可得平面 ，從而推出平面 ；(2) 建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與，坐標代入線面角的正弦值公式即可得解.

（1）證明：連接，，由圖1知，四邊形為菱形，且，

所以是正三角形，從而.

同理可證，，

所以平面.

又，所以平面，

因為平面，

所以平面平面.

易知，且為的中點，所以，

所以平面.

（2）解：由（1）可知，，且四邊形為正方形.設(shè)的中點為，

以為原點，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，，

所以，，.

設(shè)平面的法向量為，

由得

取.

設(shè)直線與平面所成的角為，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】去年年底，某商業(yè)集團公司根據(jù)相關(guān)評分細則，對其所屬25家商業(yè)連鎖店進行了考核評估.將各連鎖店的評估分數(shù)按[60,70), [70,80), [80,90), [90,100),分成四組，其頻率分布直方圖如下圖所示，集團公司依據(jù)評估得分，將這些連鎖店劃分為A,B,C,D四個等級，等級評定標準如下表所示.

評估得分

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100)

評定等級

D

C

B

A

（1）估計該商業(yè)集團各連鎖店評估得分的眾數(shù)和平均數(shù)；

（2）從評估分數(shù)不小于80分的連鎖店中任選2家介紹營銷經(jīng)驗，求至少選一家A等級的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，，其中a，．

Ⅰ求的極大值；

Ⅱ設(shè)，，若對任意的，恒成立，求a的最大值；

Ⅲ設(shè)，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在s，，使成立，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）設(shè)定義在上的函數(shù)的最大值為，最小值為，且，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的短軸長為，過點，的直線傾斜角為.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點且斜率為的直線，使直線交橢圓于兩點，以為直徑的圓過點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有一塊半圓形的空地，直徑米，政府計劃在空地上建一個形狀為等腰梯形的花圃，如圖所示，其中為圓心，，在半圓上，其余為綠化部分，設(shè).

（1）記花圃的面積為，求的最大值；

（2）若花圃的造價為10元/米，在花圃的邊、處鋪設(shè)具有美化效果的灌溉管道，鋪設(shè)費用為500元/米，兩腰、不鋪設(shè)，求滿足什么條件時，會使總造價最大.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)存在兩個零點.

①實數(shù)的取值范圍；

②證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內(nèi)報名人數(shù)便突破60萬，其中青年學(xué)生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學(xué)生志愿者中，按男女分層抽樣隨機選取20人進行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下:

(Ⅰ)試估計在這50萬青年學(xué)生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);

(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在等腰直角中，，，點、分別是、的中點.現(xiàn)沿邊折起成如圖四棱錐，為中點.

（1）證明：面；

（2）當時，求二面角的平面角的余弦值.

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