Question

設各項均為正數的數列{a_n}滿足

（Ⅰ）若，求a₃，a₄，并猜想a_2co8的值（不需證明）；

（Ⅱ）記恒成立，求a₂的值及數列{b_n}的通項公式.

Answer 1

解：(Ⅰ)因

    

     由此有，

故猜想的通項為      

從而

    （Ⅱ）令

     由題設知x₁=1且

                      ①

                                  ②

      因②式對n=2成立，有

                                                         ③

      下用反證法證明：

      由①得

      因此數列是首項為，公比為的等比數列.故

                                ④

      又由①知 

      因此是是首項為，公比為-2的等比數列,所以

                                ⑤

      由④-⑤得

                                       ⑥

      對n求和得

⑦

          由題設知

            

             從而

       即不等式          2^2k+1＜

對kN^*恒成立.但這是不可能的，矛盾.

因此x₂≤,結合③式知x₂=,因此a₂==

將x₂=代入⑦式得   S_n=2－(nN*),

所以b_n=2^S_n=2^2－(nN*)。