Question

已知f（x）是奇函數(shù)，當x＞0時，
（I）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（II）用定義證明：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（I）設x＜0時，則-x＞0，代入已知由函數(shù)的奇偶性可得解析式；
（II）設x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，可判f（x₁）-f（x₂）＞0，由單調性的定義可得．
解答：解：（I）當x＜0時，-x＞0，可得，
由于f（x）是奇函數(shù)，于是f（-x）=-f（x），
所以當x＜0時，．                               （4分）
（II）證明：設x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，
則
由0＜x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)．                    （8分）
點評：本題考查函數(shù)解析式的求解即常用方法，以及單調性的判斷和證明，屬基礎題．