Question

【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，設(shè)過(guò)的直線(xiàn)的斜率存在且不為0，直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)為，為原點(diǎn)，直線(xiàn)交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求的最大值．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).

【解析】

試題分析：

(1)設(shè)直線(xiàn)的斜率為（），聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程可得．結(jié)合韋達(dá)定理可得線(xiàn)段中點(diǎn)的坐標(biāo)為．據(jù)此計(jì)算可得直線(xiàn)的斜率為，則.

(2)考查．換元令，則．結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)，取最大值3，此時(shí)取最大值．

試題解析：

（1）證明：設(shè)直線(xiàn)的斜率為（），則直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立方程組消去可得．

設(shè)，，則于是有，

所以線(xiàn)段中點(diǎn)的坐標(biāo)為．

又直線(xiàn)的斜率，因此直線(xiàn)的方程為，它與直線(xiàn)的交點(diǎn)，故直線(xiàn)的斜率為，于是．　

因此.

（2）解：記

．

令，則．

因?yàn)?/span>，所以．

故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值3．

從而當(dāng)時(shí)，取最大值．