Question

6．已知腰長(zhǎng)為1的等腰三角形ABC中，AB⊥AC，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=mAB，AF=nAC（0≤m＜1，0＜n＜1），m+n=1，設(shè)BF與CE的交點(diǎn)為P，則線段AP的長(zhǎng)有（　　）

• A． 最大值$\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． 最小值$\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． 最大值1
• D． 最小值1

Answer 1

分析 取極值法，m=1，n=0，以及n=1，m=0時(shí)，交點(diǎn)為B或C，對(duì)應(yīng)AP=1，
m=n=$\frac{1}{2}$時(shí)AP取得最小值，交點(diǎn)P是三角形的重心，求出即可．

解答 解：如圖所示，
等腰三角形ABC中，AB⊥AC，且AB=1；
E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，AE=mAB，AF=nAC（0≤m＜1，0＜n＜1），m+n=1；
根據(jù)題意得，當(dāng)m=n=$\frac{1}{2}$時(shí)AP取得最小值，
此時(shí)E F是各邊的中點(diǎn)，
又因?yàn)槿�角形是等腰△�?br />所以交點(diǎn)P是三角形底邊高上的一點(diǎn)，
即P是三角形3條中線的交點(diǎn)，P是三角形的重心，
由重心公式得AP=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的邊角關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了特殊值應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．