Question

20.設函數(shù)f(x)=tx²+2t²x+t-1(x∈R,t＞0).

(I)求f (x)的最小值h(t);

(II)若h(t)＜-2t+m對t∈(0,2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導數(shù)的應用，考查運用數(shù)學知識分析問題解決問題的能力.

解：(I)∵   ()，

∴當x=-t時，f(x)取最小值f(-t)=-t²+t-1,

即h(t)=-t³+t-1.

(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t³+3t-1-m,

由g’(t)=-3t²+3=0得t=1,t=-1(不合題意，舍去).

當t變化時g’(t)、g(t)的變化情況如下表：

T	(0,1)	1	(1,2)
g’(t)	+	0	-
g(t)	遞增	極大值1-m	遞減

∴g(t)在(0，2)內(nèi)有最大值g(1)=1-m

h(t)＜-2t+m在(0，2)內(nèi)恒成立等價于g(t)＜0在(0，2)內(nèi)恒成立，

即等價于1-m＜0

所以m的取值范圍為m＞1