Question

已知n個圓中每兩個圓相交于兩點，且無三圓過同一點，用數(shù)學(xué)歸納法證明：這n個圓將平面劃分成n²-n+2塊區(qū)域.

Answer 1

思路分析：用數(shù)學(xué)歸納法解幾何問題.

證明：（Ⅰ）當(dāng)n=1時,1個圓將平面分成2部分，而2=1²-1+2，

∴當(dāng)n=1時命題正確.

(Ⅱ)假設(shè)n=k時命題正確，即滿足條件的k個圓將平面劃分成k²-k+2部分，

∴當(dāng)n=k+1時，平面上增加了第k+1個圓，它與原來的k個圓的每一個圓都相交于兩個不同點，共2k個交點.而這2k個點將第k+1個圓分成2k段弧，每段弧將原來的一塊區(qū)域隔成了兩塊區(qū)域，∴區(qū)域的塊數(shù)增加了2k塊，

∴k+1個圓將平面劃分成的塊數(shù)為

(k²-k+2)+2k=k²+k+2=(k+1)²-(k+1)+2，

∴n=k+1時命題也正確，

根據(jù)(Ⅰ)(Ⅱ)知命題對n∈N^*都正確.

誤區(qū)警示

    用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題是教材中一種題型，但由于這種題型的證明主要是文字推理為主，所以語言一定精確，要能準(zhǔn)確地描述第二步的假設(shè)，合理清晰地推導(dǎo)出結(jié)論.