Question

拋物線y²=4x與直線x+y-2=0的交點為A，B，拋物線的頂點為O，在拋物線弧AOB上求一點C，使△ABC的面積最大，并求出這個最大面積.

Answer 1

解析：利用直線與曲線關(guān)系、最值問題、點到直線的距離公式求解.

解法一：如圖，設與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為x+y-b=0.?

將它與拋物線方程y²=4x聯(lián)立，得y²=4（b-y）.?

即y²+4y-4b=0.?

由Δ=4²-4（-4b）=0，b=-1，若切線為x+y+1=0，求得切點為C（1，-2）.因直線x+y+1=0與x+y-2=0的距離為d==.由，?

解得交點坐標為A（4+2，-2-2），?

B（，），?

∴|AB|=，于是?

S_△ABC=|AB|·d=.?

即當C點為（1，-2）時，S_△ABC的最大值為6.

解法二：設C點的坐標為（，y₀），則C點與AB距離為d===

.?

∵點C的縱坐標值介于A，B兩點的縱坐標值之間.?

∴-2-2≤y₀≤-2+2，故當y₀=-2時，有d_max=.?

此時C點的坐標為（1，-2），仿上得S_△ABC最大值為6.

點評：此題是關(guān)于直線與曲線關(guān)系，三角形面積取得最大值的一道綜合題，但問題的關(guān)鍵是C點的取得及作用，此題的兩種解法是關(guān)于曲線上的點到定直線距離取最大值的典型解法.