Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax，g（x）=|x-a|，a∈R．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）＞g（x）；
（2）記F（x）=f（x）-g（x），判斷F（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)G（x）=f（x）g（x），且G（x）在[1，+∞）上遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，轉(zhuǎn)化為2x＞|x-2|?-2x＜x-2＜2x，解不等式即可求出結(jié)論．
（2）先得到F（x）=ax-|x-a|，再分a=0和a≠0分別討論得到其奇偶性即可；（注意用定義）
（3）先去絕對(duì)值符號(hào)得到函數(shù)解析式，再通過(guò)對(duì)a和0分情況討論，結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性的求法即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）2x＞|x-2|?-2x＜x-2＜2x，得解集為(

2

3

，+∞)…（4分）
（2）F（x）=ax-|x-a|，
當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)（x）=-|x|，F(xiàn)（-x）=-|-x|=-|x|，
所以F（x）=F（-x），F(xiàn)（x）為偶函數(shù)；…（6分）
當(dāng)a≠0，F(xiàn)（a）=a²，F(xiàn)（-a）=-a²-2|a|
∴F（a）+F（-a）=-2|a|≠0
  F（a）-F（-a）=2a²+2|a|≠0
所以，F(xiàn)（x）為非奇非偶函數(shù)．  …（10分）
（3）G(x)=ax|x-a|=

a(x- a 2 )2- a3 4 x≥a -a(x- a 2 )2+ a3 4 x＜a

，…（12分）
①當(dāng)a=0時(shí)，G（x）=0是常數(shù)函數(shù)，不合題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，G（x）在[a，+∞）和(-∞，

a

2

]上遞增，所以a∈（0，1]．…（15分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，G（x）在[a，

a

2

]上遞增，在[

a

2

，+∞)和（-∞，a]上遞減，不合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1]…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的判定以及分類(lèi)討論思想，是對(duì)函數(shù)知識(shí)的綜合考查．在解第三問(wèn)時(shí)，須注意和分段函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合．