Question

【題目】如圖1，矩形中，，是的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且，如圖2．

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)F，AE的中點(diǎn)O，連結(jié)，，,則可證平面,得出BC⊥PO，又PO⊥AE得出PO⊥平面ABCE，于是平面APE⊥平面ABCE．

（II）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量為, 設(shè)直線與平面所成的角為,根據(jù)求解即可.

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，

由已知得，四邊形是梯形，，

∴，∴，

∵，∴，

又，∴平面，

∴

由已知得，∴,

又與相交∴平面 ,

∵平面，

∴平面平面.

（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,設(shè)，

則，，，,

∴，，設(shè)平面的法向量為,

則，∴，取，得,

又，設(shè)直線與平面所成的角為,

則 .