Question

20．（$\frac{2}{x}$+x+1）（1-2$\sqrt{x}$+x）⁴的展開式中x的系數(shù)是169（用數(shù)字作答）．

Answer 1

分析 （$\frac{2}{x}$+x+1）（1-2$\sqrt{x}$+x）⁴=（$\frac{2}{x}$+x+1）$（\sqrt{x}-1）^{8}$.$（\sqrt{x}-1）^{8}$的展開式的通項公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}$（-1）^8-r$（\sqrt{x}）^{r}$=${∁}_{8}^{r}$（-1）^8-r${x}^{\frac{r}{2}}$．令$\frac{r}{2}$=2，0，1，分別解得r，進而得出．

解答 解：（$\frac{2}{x}$+x+1）（1-2$\sqrt{x}$+x）⁴=（$\frac{2}{x}$+x+1）$（\sqrt{x}-1）^{8}$．
$（\sqrt{x}-1）^{8}$的展開式的通項公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}$（-1）^8-r$（\sqrt{x}）^{r}$=${∁}_{8}^{r}$（-1）^8-r${x}^{\frac{r}{2}}$．
令$\frac{r}{2}$=2，0，1，分別解得r=4，0，2．
∴（$\frac{2}{x}$+x+1）（1-2$\sqrt{x}$+x）⁴的展開式中x的系數(shù)=2×${∁}_{8}^{4}×（-1）^{4}$+${∁}_{8}^{0}$（-1）⁸+${∁}_{8}^{2}（-1）^{6}$=169．
故答案為：169．

點評 本題考查了二項式定理的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．